Question

19．甲乙两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分．若其中的一方比对方多得2分或下满5局时停止比赛．设甲在每局中获胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙在每局中获胜的概率为$\frac{1}{3}$，且各局胜负相互独立．
（1）求没下满5局甲即获胜的概率；
（2）设比赛停止时已下局数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）没下满5局甲即获胜有两种情况：①是两局后甲获胜，②是四局后甲获胜，由此利用互斥事件概率加法公式能求出甲获胜的概率．
（2）依题意，ξ的所有取值为2，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）没下满5局甲即获胜有两种情况：
①是两局后甲获胜，此时p₁=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
②是四局后甲获胜，此时p₂=（${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$）×$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$，
∴甲获胜的概率p=p₁+p₂=$\frac{4}{9}+\frac{16}{81}$=$\frac{52}{81}$．
（2）依题意，ξ的所有取值为2，4，5，
设前4局每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为：
（$\frac{2}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{5}{9}$，
若该轮结束时，比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛结果是否停止没有影响，
从而有：
P（ξ=2）=$\frac{5}{9}$，
P（ξ=4）=$\frac{4}{9}×\frac{5}{9}$=$\frac{20}{81}$，
P（ξ=5）=$（\frac{4}{9}）^{2}$=$\frac{16}{81}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴Eξ=$2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+5×\frac{16}{81}$=$\frac{250}{81}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．