Question

10．某三棱锥的三视图中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为8π

Answer 1

分析 作出三棱锥的直观图，根据三视图数据计算外接球半径，从而得出面积．

解答 解：根据三视图作出棱锥的直观图如图所示，
由三视图可知底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AC=2，PA⊥平面ABC，PA=2．
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
取AC的中点D，PC的中点O，连结OD，BD，OB，则OD∥PA，OD=$\frac{1}{2}$PA=1，BD=$\frac{1}{2}AC$=1，
∴OD⊥平面ABC，∴OA=OC=OP=$\frac{1}{2}PC$=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{O{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴OA=OB=OC=OP=$\sqrt{2}$，
即三棱锥的外接球球心为O，半径为$\sqrt{2}$．
∴外接球的面积S=4π×（$\sqrt{2}$）²=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥与外接球的计算，属于中档题．