Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₂=6，a_n+1=4S_n+1，n∈N^*．
（I）求通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=a_n-n-4，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件和变形等式a_n=4S_n-1+1推知数列{a_n}是等边数列，根据等比数列的通项公式进行解答；
（Ⅱ）利用（I）中的通项公式推知{|b_n|}的通项公式．然后由分组求和法来求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

解答 解：（I）∵a_n+1=4S_n+1，①
∴当n≥2时，a_n=4S_n-1+1，②
由①-②，得
a_n+1-a_n=4（S_n-S_n-1）=4a_n（n≥2），
∴当n≥2时，a_n+1=5a_n（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=5．
∵S₂=6，a_n+1=4S_n+1，n∈N^*．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=6}\\{{a}_{2}=4{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{2}=5}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=5，
∴数列{a_n}是首项a₁=1，公比为5的等边数列，
∴a_n=5^n-1；
（Ⅱ）由题意知|b_n|=|5^n-1-n-4|，n∈N^*．
易知，当n≤2时，5^n-1＜n+4；当n≥3时，5^n-1＞n+4．
∴当n≤2时，|b_n|=n+4-5^n-1；
当n≥3时，|b_n|=5^n-1-（n+4），
∴T₁=b₁=4，T₂=b₁+b₂=5．
当n≥3时，T_n=T₂+b₂+b₃+…+b_n
=5+[5²-（3+4）+[5²-（4+4）]+…+[5^n-1-（n+4）]
=5+（5²+5³+…+5^n-1）-[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]
=5+$\frac{{5}^{2}（1-{5}^{n-2}）}{1-5}$-$\frac{（n-2）（7+n+4）}{2}$
=$\frac{{5}^{n}-2{n}^{2}-18n+39}{4}$．
又∵T₁=4不满足上式，T₂=5满足上式，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，（n=1）}\\{\frac{{5}^{n}-2{n}^{2}-18n+39}{4}，n≥2，n∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的定义的灵活运用．