Question

数列{a_n}的通项a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

），其前n项和为S_n，则S₃₀为

470

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式对已知化简可得，a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

）=n²cos

2nπ

3

，然后代入到求和公式中可得，S30=12•cos

2π

3

+22cos

4π

3

+3²cos2π+…+30²cos20π，求出 特殊角的三角函数值之后，利用平方差公式分组求和即可求解

解答：解：∵a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

）=n²cos

2nπ

3

∴S30=12•cos

2π

3

+22cos

4π

3

+3²cos2π+…+30²cos20π
=-

1

2

×1-

1

2

×22+32-

1

2

×42-

1

2

×52+62+…-

1

2

×282-

1

2

×292+302
=-

1

2

[1+2²-2×3²）+（4²+5²-6²×2）+…+（28²+29²-30²×2）]
=-

1

2

[（1²-3³）+（4²-6²）+…+（28²-30²）+（2²-3²）+（5²-6²）+…+（29²-30²）]
=-

1

2

[-2（4+10+16…+58）-（5+11+17+…+59）]
=-

1

2

[-2×

4+58

2

×10-

5+59

2

×10]
=470
故答案为：470

点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用，解题的关键是平方差公式的应用