Question

已知函数f（x）-x+（t＞0）和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M，N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M，N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
∵f′（x）=1-，
∴切线PM的方程为：y-（x₁+）=（1-）（x-x₁），
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-（x₁+）=（1-）（1-x₁），
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切线PN也过点P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根，
∴（*）
|MN|==，
把（*）式代入，得|MN|=，
因此，函数g（t）的表达式为g（t）=（t＞0）．
（Ⅱ）当点M、N与A共线时，k_MA=k_NA，
∴=，即=，
化简，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得t=．
∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且t=．
分析：（I）设出M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，对函数求导得到切线的斜率，写出切线的方程，根据切线过一个点，得到一个方程，根据根与系数的关系写出两点之间的长度，得到函数的表示式．
（II）根据三点共线写出其中两点连线的斜率相等，整理出最简单形式，把上一问做出的结果代入，求出t的值．
点评：本题考查函数的综合题目，主要应用导函数求最值来解题，本题解题的关键是正确应用导数，本题是一个综合题目，综合性比较强．