Question

15．设x，t满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=4ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a=$\frac{2}{3}$时，$\frac{1}{2a}$+$\frac{a}{b}$取得最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划求出最优解，结合基本不等式求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=4ax+by得y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
∵a＞0，b＞0，
∴目标函数的斜率k=-$\frac{4a}{b}$＜0，
平移直线y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，由图象知当直线y=-$\frac{4a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，经过点B时，直线的截距最大，此时z最大为8，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即B（1，4），
此时4a+4b=8，即$\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$=1，
则$\frac{1}{2a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}}{2a}$+$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{b}{4a}$+$\frac{a}{b}$≥$\frac{1}{4}$+2$\sqrt{\frac{b}{4a}•\frac{a}{b}}$=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，
当且仅当$\frac{b}{4a}$=$\frac{a}{b}$，即b=2a时取得号，
∵4a+4b=8，
∴4a+8a=8，
解得a=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了基本不等式的应用，是中档题．