Question

3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A₁D，A₁C的中点，点G在AA₁上，且A₁D⊥EG．
（1）求证：CD∥平面EFG；
（2）求证：A₁D⊥平面EFG．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线的性质，证明EF∥CD，利用线面平行的判定定理证明：CD∥平面EFG；
（2）利用等腰三角形三线合一证明CD⊥AB，利用平面与平面垂直的性质证明CD⊥A₁D，利用线面垂直的判定定理证明：A₁D⊥平面EFG．

解答 证明：（1）∵E，F分别为A₁D，A₁C的中点，
∴EF∥CD，
∵CD?平面EFG，EF?平面EFG，
∴CD∥平面EFG；
（2）∵CA=CB，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，侧面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，
∴CD⊥侧面ABB₁A₁，
∴CD⊥A₁D，
∵EF∥CD，
∴A₁D⊥EF，
∵A₁D⊥EG，EF∩EG=E，
∴A₁D⊥平面EFG．

点评 本题考查线面平行，线面垂直，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．