Question

已知圆C1：x2+y2-4x-2y-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2y-14=0．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）直线ι过点（6，3）与圆C₁相交于A，B两点，且|AB|=2

6

，求直线ι的方程．

Answer 1

分析：（1）把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于3，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交．
（2）分直线t的斜率不存在时，经过检验不满足条件．当斜率存在时，根据弦长AB=2

6

，求出弦心距d，再由点到直线的距离公式可得d，由此求得斜率的值，即可得到直线t的方程．

解答：解：（1）由于 圆C1：x2+y2-4x-2y-5=0，即 （x-2）²+（y-1）²=10，表示以C₁（2，1）为圆心，
半径等于

10

的圆．
C2：x2+y2+2x-2y-14=0，即 （x+1）²+（y-1）²=16，表示以C₂（-1，1）为圆心，半径等于4的圆．
由于两圆的圆心距等于

32+0

=3，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交．
（2）直线ι过点（6，3）与圆C₁相交于A，B两点，且|AB|=2

6

，当AB的斜率不存在时，直线ι的方程为x=6，
此时直线t与圆C₁相离，不满足条件．
当AB的斜率不存在时，设直线ι的方程为y-3=k（x-6），即 kx-y+3-6k=0，
由弦长公式可得圆心到直线t的距离d=

10-6

=2，
再由点到直线的距离公式可得d=2=

|2k-1+3-6k|

k2+1

，解得 k=0，或 k=

4

3

．
故直线t的方程为 y=3或

4

3

x-y-5=0．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．