Question

9．若关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+a=0有解，则实数a的解集为{a|a＞0}．

Answer 1

分析 令3^x=t＞0由条件可得a=$\frac{{t}^{2}+4t}{t+1}$=t+1-$\frac{3}{t+1}$+2，利用函数的单调性求得实数a的取值范围．

解答 解：令3^x=t＞0，则关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+a=0
即 t²+（4+a）t+a=0 有正实数解．
故 a=$\frac{{t}^{2}+4t}{t+1}$=t+1-$\frac{3}{t+1}$+2，
由t+1-$\frac{3}{t+1}$+2在（0，+∞）递增，
则a＞0，
故答案为：{a|a＞0}．

点评 本题考查方程有解问题、函数的单调性问题，同时考查转化思想和换元法，属于中档题．