Question

1．若（a+b+c）（b+c-a）=3bc且sinA=2sinBcosC，则△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等边三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 根据余弦定理得出A=$\frac{π}{3}$，再利用三角恒等变换得出B=C，即可得出△ABC是等边三角形．

解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，
即b²+c²-a²=bc；
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
又sinA=2sinBcosC，
∴sin（B+C）=2sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴sinBcosC-cosBsinC=0，
即sin（B-C）=0，
∴B-C=0，
即B=C；
综上，△ABC是等边三角形．
故选：C．

点评 本题考查了三角恒等变换的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．