Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥面ABCD
（2）设Q为PC的中点，求三棱锥M-ANQ的体积．

Answer 1

分析 （1）由M，N分别是PB，PD的中点，可得MN∥BD，即可证明MN∥平面ABCD．
（2）先求所求三棱锥的高h=$\frac{1}{2}PA$=$\sqrt{6}$，由三角形面积公式可求S_△MNQ=$\frac{1}{2}$MQ•NQ•sin∠NQM的值，根据三棱锥的体积公式即可得解．

解答 解：（1）证明：
因为：M，N分别是PB，PD的中点，
所以：MN是△PBD的中位线，
所以：MN∥BD，
又因为：MN?面ABCD，BD?面ABCD，
所以：MN∥平面ABCD．
（2）∵底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分别为PB，PD的中点．
∴三棱锥A-MNQ高h=$\frac{1}{2}PA$=$\sqrt{6}$，
∵S_△MNQ=$\frac{1}{2}$MQ•NQ•sin∠NQM=$\frac{1}{2}×\frac{BC}{2}×\frac{CD}{2}×sin120°$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴V_{三棱锥A-MNQ}=V_{三棱锥M-ANQ}=$\frac{1}{3}$h•S_△MNQ=$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．