Question

2．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，$\sqrt{3}$a-2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理进行求解即可求角B的大小；
（Ⅱ）结合等差数列以及正弦定理进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}$a-2bsinA=0可得$\frac{a}{sinA}=\frac{2b}{\sqrt{3}}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{2b}{\sqrt{3}}$=$\frac{b}{sinB}$．）
解得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又∵B 为锐角，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴ac=b²．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
化简得a²+c²-2ac=0，
解得a=c．
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题主要考查解三角形的应用，三角形的形状的判断，利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．