Question

在△ABC中，已知A（1，4），B（4，1），C（0，-4），若P为△ABC所在平面一动点，则的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：设P的坐标为（x，y），向量、、的坐标关于x、y的坐标形式，从而算出、和关于x、y的表达式，进而得到=3x²+3y²-10x-2y-12，再用配方法结合二次函数求最值的方法，即可算出所求的最小值．
解答：设P（x，y），可得
=（1-x，4-y），=（4-x，1-y），=（-x，-4-y）
∴=（1-x）（4-x）+（4-y）（1-y）=x²+y²-5x-5y+8
=（4-x）（-x）+（1-y）（-4-y）=x²+y²-4x+3y-4
=（1-x）（-x）+（4-y）（-4-y）=x²+y²-x-16
因此，=3x²+3y²-10x-2y-12
∵3x²+3y²-10x-2y-12=3（x-）²+3（y-）²
∴当x=且y=时，的最小值为
故选：C
点评：本题给出△ABC三个顶点的坐标，求平面ABC内的向量数量积之和的最小值，着重考查了平面向量数量积的计算公式和二次函数求最值等知识，属于中档题．