Question

已知函数f(x)=2-(

3

sinx-cosx)2
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

b

a

=

3

，

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos(A+C)，求f（B）的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用完全平方公式展开，利用二倍角的正弦、余弦函数公式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域；
（2）已知等式变形后利用两角和与差的正弦 函数公式化简，整理得到sinC=2sinA，利用正弦定理得到c=2a，再由b=

3

a，利用余弦定理表示出cosA，求出A的度数，进而确定出B与C的度数，即可确定出f（B）的值．

解答：解：（1）f（x）=2-（3sin²x+cos²x-2

3

sinxcosx）
=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
则f（x）的值域为[-1，2]；
（2）由条件得：sin（2A+C）=sin[（A+C）+A]=2sinA+2sinAcos（A+C），
sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得：sinC=2sinA，
∴由于正弦定理得：c=2a，
又b=

3

a，
∴由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3a2+4a2-a2

4 3 a2

=

3

2

，
∴A=30°，即sinC=2sinA=1，
∴B=60°，C=90°，
则f（B）=f（60°）=2sin150°=1．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．