Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}，x≥2\\{（x-1）^3}，0＜x＜2\end{array}\right.$若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，1）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 首先画出函数图象，利用数形结合和函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示：
①当x≥2时，由函数f（x）=$\frac{2}{x}$单调递减，可得：0＜f（x）=$\frac{2}{x}$；
②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x-1）³单调递增可得：-1＜f（x）＜1．
由图象可知：由0＜2k＜1可得0＜k＜$\frac{1}{2}$，
故当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，
∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是
（0，$\frac{1}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查了利用数形结合求方程根的问题；熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．