Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且T_n=2S_n-2n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n+2n-λ•a${\;}_{n}^{2}$≤0对任意n∈N恒成立，则实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过T_n=2S_n-2n与T_n+1=2S_n+1-2（n+1）作差、整理可知S_n+1+2=2（S_n+2），进而可知S_n=2ⁿ⁺¹-2，利用S_n+1-S_n计算可得结论；
（2）通过a_n=2ⁿ化简可知问题即求$\frac{{2}^{n}-1}{{4}^{n-1}}$的最大值，通过设f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x-1}}$，利用导数判断出其单调性，进而即得结论．

解答 解：（1）∵T_n=2S_n-2n，
∴T_n+1=2S_n+1-2（n+1），
∴S_n+1=T_n+1-T_n
=2S_n+1-2（n+1）-（2S_n-2n）
=2S_n+1-2S_n-2，
整理得：S_n+1=2S_n+2，
即S_n+1+2=2（S_n+2），
又∵S₁=T₁=2S₁-2，
∴S₁+2=2+2=4，
∴S_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，S_n+1=2ⁿ⁺²-2，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ⁺²-2-（2ⁿ⁺¹-2）=2ⁿ⁺¹，
又∵a₁=S₁=2满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）∵a_n=2ⁿ，
∴${{a}_{n}}^{2}$=2²ⁿ=4ⁿ，
T_n=2S_n-2n
=2•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-2n
=2ⁿ⁺²-2n-4，
∴T_n+2_n-λ•a${\;}_{n}^{2}$≤0对任意n∈N恒成立，
即2ⁿ⁺²-2n-4+2n-λ•2²ⁿ≤0对任意n∈N恒成立，
整理得：λ≥$\frac{4{•2}^{n}-4}{{4}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{4}^{n-1}}$，
记f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x-1}}$，则f′（x）=$\frac{{2}^{x}•ln2•{4}^{x-1}-{（{2}^{x}-1）•4}^{x-1}ln4}{{4}^{2x-2}}$=（2^2x-1-2^3x-2）•$\frac{ln2}{{4}^{2x-2}}$，
令f′（x）=0，即2^2x-1-2^3x-2=0，解得x=1，
当x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0；
∴当x=1时f（x）取最大值f（1）=$\frac{{2}^{1}-1}{{4}^{1-1}}$=1，
∴λ≥$\frac{{2}^{n}-1}{{4}^{n-1}}$≥1，即实数λ的最小值为1．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．