Question

8．将函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位得到函数g（x）的图象，则：
（1）g（x）的解析式为g（x）=sin[ω（x-$\frac{π}{8}$）]；
（2）若y=g（x）的图象在[0，1]恰有三个最高点，则ω的取值范围为$\frac{20π}{8-π}$≤ω＜$\frac{36π}{8-π}$．．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的平移关系即可求出g（x）的解析式．
（2）设函数g（x）在x=1上恰取最高点，得ω=$\frac{8kπ+4π}{8-π}$，k∈Z，根据f（x）=sin（ωx-$\frac{π}{8}$ω）（ω＞0）在区间[0，1]上恰有3个最高点，得2T≤1＜4T，解得k的范围即可确定ω的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=sinωx，（ω＞0）图象向右平移$\frac{π}{8}$得到的函数解析式为：g（x）=sin[ω（x-$\frac{π}{8}$）]．
（2设函数g（x）在x=1上恰取最高点时，有1=sin[ω（1-$\frac{π}{8}$）]．此时可解得：ω（1-$\frac{π}{8}$）=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴可解得：ω=$\frac{8kπ+4π}{8-π}$，k∈Z…①
∴函数g（x）在[0，1]上恰有三个最高点，
∴可得：2T≤1＜4T，由T=$\frac{2π}{w}$，可解得：4π≤ω＜8π，即有：4π≤$\frac{8kπ+4π}{8-π}$＜8π，
∴解得：$\frac{7-π}{2}≤k＜\frac{15-2π}{2}$，即有：1.92≤k＜4.35，k∈Z．
∴可得：2≤k＜4，
∴代入①式可得：$\frac{16π+4π}{8-π}$≤ω＜$\frac{32π+4π}{8-π}$，
∴可解得：$\frac{20π}{8-π}$≤ω＜$\frac{36π}{8-π}$．
故答案为：（1）g（x）=sin[ω（x-$\frac{π}{8}$）]；（2）$\frac{20π}{8-π}$≤ω＜$\frac{36π}{8-π}$．

点评 本题考查由三角函数的图象变换确定函数的解析式，本题解题的关键是理解在一个区间上恰有三个最高点时图象的等价条件．