Question

20．已知x，y∈（0，+∞），当x²+y²=1时，有x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1．

Answer 1

分析 设x²+y²=r²，则x=ycosθ，y=rsinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），代入x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1求得r²的值，即为所求．

解答 解：设x²+y²=r²，则x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），r＞0，
代入x$\sqrt{1-{y}^{2}}$+y$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1可得rcosθ•$\sqrt{{1-（rsinθ）}^{2}}$+rsinθ•$\sqrt{{1-（rcosθ）}^{2}}$=1，
可得r=1，∴x²+y²=r²=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查三角恒等代换，同角三角跑函数的基本关系，属于中档题．