Question

16．已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意实数m∈（0，+∞），不等式f（x）＞4e^x（x+1）-m（x²+2）-2x恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程化为点斜式，可得f（0）=b=4，f′（0）=a+4-4=4，从而求得a，b的值．
（2）由题意可得m（x²+2）-x²-2x＞0对任意实数m∈（0，+∞）恒成立．令g（m）=（x²+2）m-x²-2x，则函数g（m）是关于m的一次函数，在（0，+∞）上为增函数，只需g（0）=-x²-2x≥0，由此求得x的取值范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，可得f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4．
由曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4，即 y-4=4（x-0），
可得f（0）=b=4，f′（0）=a+4-4=4，故b=4，b=4，
（2）由（1）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，
所以不等式即 4e^x（x+1）-x²-4x＞4e^x（x+1）-m（x²+2）-2x，
即m（x²+2）-x²-2x＞0对任意实数m∈（0，+∞）恒成立．
令g（m）=（x²+2）m-x²-2x，则函数g（m）是关于m的一次函数，
由x²+2＞0，故g（x）在（0，+∞）上为增函数．
只需g（0）=-x²-2x≥0，求得-2≤x≤0，
故使原不等式恒成立的x的取值范围是[-2，0]．

点评 本题主要考查曲线在某一点的切线方程的求法，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于难题．