Question

7．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=$\frac{π}{4}$对称，则函数y=f（$\frac{3π}{4}$-x）是（　　）

• A． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 偶函数且它的图象关于点$（\frac{3π}{2}，0）$对称
• C． 奇函数且它的图象关于点$（\frac{3π}{2}，0）$对称
• D． 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

Answer 1

分析 根据函数f（x）的对称性求出b=-a，然后求出函数$y=f（\frac{3π}{4}-x）$的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．

解答 解：∵函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{4}$对称，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a-b）=$±\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
平方得a²+2ab+b²=0，
即（a+b）²=0，
则a+b=0，b=-a，
则f（x）=asinx+acosx=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），又a≠0，
则$y=f（\frac{3π}{4}-x）$=$\sqrt{2}a$sin（$\frac{3π}{4}$-x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}a$sin（π-x）=$\sqrt{2}a$sinx为奇函数，
且图象关于点（π，0）对称，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的性质的应用，根据函数的对称性求出b=-a是解决本题的关键．