Question

15．设a＞b＞c，n∈N，且$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}≥\frac{n^2}{a-c}$恒成立，则n的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 分离参数n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值．

解答 解：∵$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$≥$\frac{{n}^{2}}{a-c}$恒成立，
∴n²≤$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$恒成立
∴n²≤$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$的最小值
∵$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{a-b+b-c}{a-b}$+$\frac{a-b+b-c}{b-c}$=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$≥4
得n²≤4，∴n≤2，
故选：A．

点评 本题考查通过分离参数求函数的最值解决不等式恒成立问题、利用基本不等式求函数的最值要注意满足的条件：一正、二定、三相等．