Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=3，CD=2．若点E在线段PB上，且PE=2EB，求证：EC∥平面PAD．

Answer 1

分析 在AB上取点F，使得AF=CD=2，连接CF，则可证明CF∥AD，EF∥PA，于是平面CEF∥平面PAD，故而CE∥平面PAD．

解答 证明：在AB上取点F，使得AF=CD=2，连接CF，则BF=1．
∵AF$\stackrel{∥}{=}$CD，∴四边形AFCD是平行四边形，
∴CF∥AD，又CF?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CF∥平面PAD．
∵PE=2EB，
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{BF}{AF}=\frac{1}{2}$，
∴EF∥PA，又EF?平面PAD，PA?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
又CF?平面CEF，EF?平面CEF，CF∩EF=F，
∴平面CEF∥平面PAD，
∵CE?平面CEF，
∴CE∥平面PAD．

点评 本题考了线面平行的判定与性质，构造平行线是证明的关键，属于中档题．