Question

20．对任意实数a，b，函数F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|），如果函数f（x）=-x²+2x+3，g（x）=x+1，那么函数G（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于3．

Answer 1

分析 确定函数F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）的含义，表示出G（x）=F（f（x），g（x）），根据一次函数与二次函数的性质可求函数的最大值．

解答 解：∵F（a，b）=$\frac{1}{2}$（a+b-|a-b|）=$\left\{\begin{array}{l}b，a≥b\\ a，a＜b\end{array}\right.$，
函数f（x）=-x²+2x+3，g（x）=x+1，
∴G（x）=F（f（x），g（x））=$\left\{\begin{array}{l}x+1，-1≤x≤2\\-{x}^{2}+2x+3，x＜-1，或x＞2\end{array}\right.$．
∵当-1≤x≤2时，G（x）=x+1∈[0，3]，
当x＞2或x＜-1时，G（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4＜3，
综上可得，函数G（x）的最大值为3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查了函数的最值的求解，解题的关键是根据题目中的定义求出函数H（x）的解析式．