Question

已知函数f（x）=xsinx+cosx+x²（x∈R）．
（I）判断函数f（x）的单调性；
（II）解不等式f（x）＜f（2）．

Answer 1

分析：（I）求导数f′（x），根据导数的正负即可判断函数的单调性；
（Ⅱ）分情况进行讨论，利用单调性可解不等式，当x＞0时由f（x）在（0，+∞）上递增可去掉符号“f”，化为具体不等式求解；当x=0时易判断；当x＜0时，由f（x）的奇偶性、单调性可化为具体不等式求解；

解答：解：（I）∵f′（x）=sinx+xcosx-sinx+2x=x（2+cosx），
于是当x＞0时，f′（x）＞0；故f（x）单调递增；
当x＜0时，f′（x）＜0；故f（x）单调递减；
（II）由（I）得f（x）在（0，+∞）内单调递增，
∴①当x＞0时，不等式f（x）＜f（2）等价于

x＞0 x＜2

，解得0＜x＜2；
②当x=0时，原不等式成立；
③当x＜0时，∵f（-x）=f（x）（x∈R），∴f（x）在R上为偶函数，
∴原不等式等价于

x＜0 f(-x)＜f(2)

，
∴0＜-x＜2，即-2＜x＜0，
综上所述，原不等式的解集为{x|-2＜x＜2}．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．