Question

21、设数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2ⁿ，
（Ⅰ）求a₁，a₄
（Ⅱ）证明：{a_n+1-2aⁿ}是等比数列；
（Ⅲ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1得到s₁=a₁=2并推出a_n，令n=2求出a₂，s₂得到a₃推出a₄即可；
（Ⅱ）由已知得a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ即为等比数列；
（Ⅲ）a_n=（a_n-2a_n-1）+2（a_n-1-2a_n-2）++2^n-2（a₂-2a₁）+2^n-1a₁=（n+1）•2^n-1即可．

解答：解：（Ⅰ）因为a₁=S₁，2a₁=S₁+2，所以a₁=2，S₁=2
由2a_n=S_n+2ⁿ知2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹
得a_n=s_n+2ⁿ⁺¹①
所以a₂=S₁+2²=2+2²=6，S₂=8a₃=S₂+2³=8+2³=16，S₂=24a₄=S₃+2⁴=40
（Ⅱ）由题设和①式知a_n+1-2a_n=（S_n+2ⁿ⁺¹）-（S_n+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ
所以{a_n+1-2aⁿ}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）a_n=（a_n-2a_n-1）+2（a_n-1-2a_n-2）++2^n-2（a₂-2a₁）+2^n-1a₁=（n+1）•2^n-1

点评：此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力．