Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

a

•

b

，x∈[0，π]
（I）求函数f（x）的最大值；
（II）当函数f（x）取得最大值时，求向量

a

与

b

夹角的大小．

Answer 1

分析：（I）利用向量数量积的坐标表示及辅助角公式求解f（x）=sin(2x-

π

6

)-

1

2

，结合已知x的范围可求函数的最大值
（II）设向量

a

与

b

的夹角为α，由（I）可知x的值，代入向量夹角公式可求cosα，进而可求夹角α

解答：解：（I）f(x)=

a

•

b

=-cos2x+

3

sinxcosx
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-

1

2

∵x∈[0，π]当x=

π

3

时f(x)max=1-

1

2

=

1

2

（II）此时x=

π

3

设向量

a

与

b

的夹角为α，则cosα=

a • b

| a || b |

=

1

4cosx

=

1

2

所以向量

a

与

b

的夹角为

π

3

点评：（I）辅助角公式的应用是解决此类问题的关键，可以把不同名的三角函数化简为y=Asin（ωx+φ），结合正弦函数的性质可求相应的量；（II）在利用夹角公式求解向量的夹角时要注意夹角的范围[0，π]