Question

【题目】如图，四边形为矩形，平面，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）点在线段上，且，过、、三点的平面将多面体分成两部分，设上、下两部分的体积分别为、，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）证明线面平行，只要证明平面外一条直线与平面内一条直线平行，即可证得.本题可证，即可证得平面；

（Ⅱ）设到的距离为，根据第一问可得出，求得，因为，，即可得出的值.

（Ⅰ）证法1：四边形为矩形，所以，∵平面，平面，∴平面；又，∵平面，平面，∴平面；

因为，平面，平面，所以平面平面，又平面，所以平面.

证法2：如图，在上取点，使，连接、，

∵，四边形为平行四边形，所以，又四边形为矩形，，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，∵平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）过作交于点，连接，，，，则

设到的距离为，由证法2知，，，

则，即，∴，

∴，

又.

∴，

∴.

故过、、三点的平面将多面体分成的上、下两部分的体积为.