Question

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b²=a²+（c-$\sqrt{3}$a）c．
（1）求角B的大小；
（2）设b²-4bcos（A-C）+4=0，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）化简已知等式可得$\sqrt{3}ac$=a²+c²-b²，利用余弦定理可得cosB，即可得解B的值．
（2）由题意△=-16sin²（A-C）≥0，进而可得A=C，解得b=2，结合已知可求a²，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为15分）
解：（1）∵b²=a²+（c-$\sqrt{3}$a）c，即$\sqrt{3}ac$=a²+c²-b²，
∴由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=30°…（6分）
（2）∵△=16cos²（A-C）-16=-16sin²（A-C）≥0，
∴sin²（A-C）=0，可得sin（A-C）=0，
∴A-C=kπ，k∈Z，
∵A∈（0，π），C∈（0，π），可得：A-C∈（-π，π），
∴A-C=0，得A=C，可得：a=c，
∴b²-4b+4=0，解得：b=2．
故2²=2a²-2a²cos30°，得a²=$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=8$+4\sqrt{3}$，
故S=$\frac{1}{2}$a²sin30°=2$+\sqrt{3}$．…（15分）

点评 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，考查了正弦函数的图象和性质，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．