Question

14．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴长为2，离心率等于$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆方程，并得到b=1，结合椭圆的离心率及隐含条件列式求得a，则椭圆C的方程可求；
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．然后利用根与系数的关系证明λ₁+λ₂为定值．

解答 （1）解：由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
则2b=2，b=1，又$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{5}$，
∵a²=b²+c²，∴可得a²=5．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
又∵$\overrightarrow{MA}={λ_1}\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{MB}={λ_2}\overrightarrow{BF}$，将各点坐标代入得${λ}_{1}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}$，${λ}_{2}=\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$．
∴${λ}_{1}+{λ}_{2}=\frac{{x}_{1}}{2-{x}_{1}}+\frac{{x}_{2}}{2-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{4-2（{x}_{1}+{x}_{2}）-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2•\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}-2\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}}{4-2•\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}-\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}}$=-10．

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键，是中档题．