Question

3．已知定点E（-1，0），F（1，0），动点P（x，y）满足|PE|+|PF|=4，记动点P的轨迹为曲线G．
（Ⅰ）求曲线G的标准方程；
（Ⅱ）过点F作不垂直于坐标轴的直线l，交曲线G于A、B两点，点C是点A关于x轴的对称点．
（i）求证：直线BC恒过x轴上的定点N，并求出定点N的坐标；
（ii）求△ABN的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的几何性质可知曲线G为椭圆，结合题中条件可计算得出曲线G的标准方程．
（Ⅱ）（i）设出直线l的方程，代入椭圆方程并化简整理；设出A、B、C三点坐标，进而设出直线BC的方程，结合韦达定理可证出直线BC恒过定点N，并求出定点N的坐标．
（ii）△ABN的面积可表示为S=$\frac{1}{2}$丨FN丨丨y₂-y₁丨，结合韦达定理得到的结论化简△ABN面积的表达式，从而求出面积S的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知动点P（x，y）到定点E（-1，0），F（1，0）的距离之和，
|PE|+|PF|=4（大于丨EF丨=2），
∴动点P的轨迹是以E（-1，0），F（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∴a=2，c=1，b²=3，
∴曲线G的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…4分
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
且△=144（k²+1）＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，…6分
（i）由题意可知C（x₁，-y₁），则直线BC的方程为y=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁）-y₁，
令y=0，则x_N=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₁=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$
=$\frac{k（{x}_{1}-1）{x}_{2}+k（{x}_{2}-1）{x}_{1}}{k（{x}_{2}-1）+k（{x}_{1}-1）}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}$=$\frac{2•\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}}{\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-2}$=4，
∴直线BC恒过定点N，且定点N的坐标为（4，0）…9分
（ii）由（i）可知N（4，0），F（1，0），
则△ABN的面积可表示为S=$\frac{1}{2}$丨FN丨丨y₂-y₁丨=$\frac{3}{2}$丨k（x₂-x₁）丨，
∴S=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{k}^{2}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=18$\sqrt{{k}^{2}•\frac{{k}^{2}+1}{（4{k}^{2}+3）^{2}}}$；
设4k²+3=t，则t＞3，k²=$\frac{t-3}{4}$，则S=$\frac{9}{2}$$\sqrt{\frac{{t}^{2}-2t-3}{{t}^{2}}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{-3（\frac{1}{t}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$；
令u=$\frac{1}{t}$，则0＜u＜$\frac{1}{3}$，
∴y=-3（u+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$在（0，$\frac{1}{3}$）内单调递减，
∴y∈（0，1），
故△ABN的面积的取值范围（0，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，考查椭圆与函数的单调性与最值的综合应用，考查计算能力，属于中档题．