Question

8．设函数f（x）=alnx-x，g（x）=ae^x-x，其中a为正实数．
（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）都没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出g（x）的最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a-x}{x}（{x＞0，a＞0}）$，
∵0＜x＜a时，f'（x）＞0；x＞a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，a）上是增函数，在（a，+∞）上是减函数，
又f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴0＜a≤1．又g'（x）=ae^x-1，
∴$x＞ln\frac{1}{a}$时，g'（x）＞0；$x＜ln\frac{1}{a}$时，g'（x）＜0，
∴$x=ln\frac{1}{a}$时，g'（x）最小，∴$ln\frac{1}{a}＞2$时，
∴$0＜a＜\frac{1}{e^2}$，∴$a∈（{0，\frac{1}{e^2}}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x=a时，f（x）取得最大值，
$x=ln\frac{1}{a}$，g（x）取得最小值，
由题意可得f（a）＜0且$g（{ln\frac{1}{a}}）＞0$，$\left\{\begin{array}{l}alna-a＜0\\ a•\frac{1}{a}-ln\frac{1}{a}＞0\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{e}$＜a＜e，即$a∈（{\frac{1}{e}，e}）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．