Question

20．设数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=$\frac{5}{3}$，a_n+2=$\frac{5}{3}$a_n+1-$\frac{2}{3}$a_n （n=1，2，…）．令b_n=a_n+1-a_n．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列，并求b_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，即可证明数列{b_n}是等比数列，再由等比数列的通项公式求b_n；
（2）把b_n代入b_n=a_n+1-a_n，然后利用累加法求得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵b_n+1=a_n+2-a_n+1=$（\frac{5}{3}{a}_{n+1}-\frac{2}{3}{a}_{n}）$-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n）=$\frac{2}{3}$b_n．
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{3}$ （n=1，2，3，…），即{b_n}是等比数列，公比q=$\frac{2}{3}$，
首项b₁=a₂-a₁=$\frac{2}{3}$．∴b_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$；
（2）解：a_n+1-a_n=$（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+b₁+b₂+…+b_n-1=1+$\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（$\frac{2}{3}$）^n-1=$\frac{1×[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．