Question

7．已知1=x²+4y²-2xy（x＜0，y＜0），则x+2y的取值范围为[-2，-1）．

Answer 1

分析 解：根据题意，令t=x+2y，则x=t-2y，将其代入1=x²+4y²-2xy可得1=（t-2y）²+4y²-2y（t-2y），变形可得12y²-6ty+t²-1=0，分析可得该方程必有负根，结合一元二次方程的根的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，令t=x+2y，t＜0，则x=t-2y，
将其代入1=x²+4y²-2xy可得1=（t-2y）²+4y²-2y（t-2y），
变形可得：12y²-6ty+t²-1=0，
又由y＜0，则12y²-6ty+t²-1=0必有负根，
对于12y²-6ty+t²-1=0，其对称轴x=$\frac{t}{4}$＜0，
只需满足△≥0即可；
必有△=（6t）²-4×12×（t²-1）≥0，解可得-2≤t≤2，
且t²-1＞0，即t²＞1，
又由t＜0，
则t的取值范围是[-2，-1）；
故答案为：[-2，-1）．

点评 本题考查基本不等式的应用，注意x、y都是负数，不能直接用基本不等式．