Question

12．设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+1=0．
（1）证明：直线l₁与l₂相交；
（2）试用解析几何的方法证明：直线l₁与l₂的交点到原点距离为定值；
（3）设原点到l₁与l₂的距离分别为d₁和d₂，求d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）假设l₁与l₂平行，有k₁=k₂，代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，这与k₁为实数的事实相矛盾，故l₁与l₂相交．
（2）由（1）知k₁≠k₂，联立方程组求得交点坐标，然后由两点间的距离公式求得直线l₁与l₂的交点到原点距离为定值；
（3）利用点到直线的距离和不等式的性质进行解答．

解答 证明：（1）反证法：假设l₁与l₂不相交，
则l₁与l₂平行，有k₁=k₂，
代入k₁k₂+1=0，得k12+1=0，
这与k₁为实数的事实相矛盾，
∴k₁≠k₂，
故l₁与l₂相交．
（2）由（1）知k₁≠k₂，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x+1}\\{y={k}_{2}x-1}\end{array}\right.$解得交点P的坐标（x，y）为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}}\\{y=\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}}\end{array}\right.$，而x²+y²=$（\frac{2}{{k}_{2}-{k}_{1}}）^{2}$+$（\frac{{k}_{2}+{k}_{1}}{{k}_{2}-{k}_{1}}）^{2}$=$\frac{4+{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{1}}^{2}+2{k}_{1}{k}_{2}}{{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{1}}^{2}-2{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+2}{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+2}$=1．即l₁与l₂的交点到原点距离为1．
解：（3）d₁+d₂=$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{1+（-\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}）}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$+$\frac{|{k}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{1+|{k}_{1}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1+|{k}_{1}{|}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2|{k}_{1}{|}^{2}}{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{\frac{1}{|{k}_{1}|}+|{k}_{1}|}}$，
当|k₁|=1即k₁=±1时，d₁+d₂的最大值是$\sqrt{2}$．

点评 关于两条直线位置关系的问题，常常单独出现在选择题和填空题中，或作为综合题的一部分出现在解答题中，主要考查以下三种：一、判断两条直线平行和垂直；二、求点到直线的距离、平行线间的距离；三、求直线的交点或夹角及利用它们求参数等．