Question

17．如图，图形ABCST中AB=BC=100，AB垂直于BC，O为AC的中点，AT=SC=50，弧$\widehat{TS}$以O为圆心，OT为半径，P为弧$\widehat{TS}$上任一点，过P作矩形PHBQ，求矩形PHBQ的最大面积．

Answer 1

分析 如图所示建立直角坐标系．设P（50cosθ，50sinθ）（θ∈$[0，\frac{π}{2}]$）．可得矩形PHBQ的面积S=PH•PQ=2500（sinθcosθ+sinθ+cosθ+1）．设t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示建立直角坐标系．
设P（50cosθ，50sinθ）（θ∈$[0，\frac{π}{2}]$）．
则PH=50+50cosθ，PQ=50+50sinθ．
∴矩形PHBQ的面积S=（50+50cosθ）（50+50sinθ）
=2500（sinθcosθ+sinθ+cosθ+1），
设t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[1，$\sqrt{2}$]，
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则S=2500$（\frac{{t}^{2}-1}{2}+t+1）$
=1250（t+1）²，
∵S在t∈[1，$\sqrt{2}$]，上单调递增．
∴当且仅当t=$\sqrt{2}$时，S取得最大值=1250（3+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了圆的参数方程、三角函数基本关系式和差公式与倍角公式、三角函数的单调性，考查了换元方法、推理能力与计算能力，属于中档题．