Question

7．已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，若函数f（x）在[t，t+2]上为单调函数；则t的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，-2]∪[1，+∞）
• D． （-3，1）

Answer 1

分析 先求导，要使函数f（x）在[t，t+2]上为单调函数，则导数符号不变化，即可求得t的取值范围．

解答 解：函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，
那么：f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）e^x=x（x-1）•e^x
当f′（t）＞0，f′（t+2）＞0时，函数f（x）在[t，t+2]上为单调函数．
即：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{t}•t（t-1）＞0}\\{{e}^{t+2}•（t+2）（t+1）＞0}\end{array}\right.$
∵e^t＞0，e^t+2＞0
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{t（t-1）≥0}\\{（t+2）（t+1）≥0}\end{array}\right.$，解得：t≥1或t≤-2
当f′（t）＜0，f′（t+2）＜0时，函数f（x）在[t，t+2]上为单调函数．
即：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{t}•t（t-1）＜0}\\{{e}^{t+2}•（t+2）（t+1）＜0}\end{array}\right.$
∵e^t＞0，e^t+2＞0
∴只需$\left\{\begin{array}{l}{t（t-1）≤0}\\{（t+2）（t+1）≤0}\end{array}\right.$，无解．
综上所述：t的取值范围（-∞，-2]∪[1，+∞）．
故选C．

点评 本题考查了利用导数函数判断单调性的问题．属于基础题．