Question

3．函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈[0，1）时，$f（x）=\frac{-ax-b}{1+x}$，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{3}$．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）判断并证明函数f（x）在（-1，1）上的单调性．
（3）若f（x-1）+f（x）＞0，求x的范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数求出b=0，根据f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$，求出a的值，从而求出函数在定义域上的解析式即可；
（2）计算△x，△y的符号，求出函数的单调性即可；
（3）结合题意得到关于x的不等式组，求出x的范围即可．

解答 解：（1）f（x）是奇函数，f（0）=0，
f（0）=-b=0，故b=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{-\frac{1}{2}a}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，解得：a=-1，
x∈（-1，0）时，-x∈[0，1）且f（x）是奇函数，
故f（-x）=$\frac{-x}{1-x}$=-f（x），
∴f（x）=$\frac{x}{1-x}$，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{1+x}，x∈[0，1）}\\{\frac{x}{1-x}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）设x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，
△y=$\frac{{x}_{2}（1{+x}_{1}）{-x}_{1}（1{+x}_{2}）}{（1{+x}_{2}）（1{+x}_{1}）}$=$\frac{△x}{（1{+x}_{2}）（1{+x}_{1}）}$，
∵x₁，x₂∈（0，1），
∴（1+x₂）（1+x₁）＞0，△x＞0，∴△y＞0，
∴f（x）在（0，1）递增，
又f（x）是奇函数，图象关于原点对称，
∴f（x）在（-1，0）递增，
综上，f（x）在（-1，1）递增；
（3）f（x）是（-1，1）上的增函数，且f（x-1）+f（x）＞0，
∴f（x-1）＞-f（x）=f（-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜-x＜1}\\{x-1＞-x}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
故x的范围是（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查求函数的解析式问题，考查函数的单调性、奇偶性问题，是一道中档题．