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【题目】函数f(x)=xex
(1)求f(x)的极值;
(2)k×f(x)≥ x2+x在[﹣1,+∞)上恒成立,求k值的集合.

【答案】
(1)解:f′(x)=ex(x+1),

令f′(x)>0,解得:x>﹣1,

令f′(x)<0,解得:x<﹣1,

∴f(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增,

∴f(x)在极小值是f(﹣1)=﹣ ,无极大值


(2)解:x>0时,k≥

令φ(x)= ,则φ′(x)= <0,

φ(x)在(0,+∞)递减,

故φ(x)≤φ(0)=1,即k≥1;

﹣1≤x<0时,k≤

φ′(x)= <0,

故φ(x)在[﹣1,0]递减,φ(x)≥φ(0)=1,

故k≤1,

综上,k=1,

故k∈{1}


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值即可;(2)分离参数,令φ(x)= ,根据函数的单调性求出k的值即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.

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