【题目】函数f(x)=xex .
(1)求f(x)的极值;
(2)k×f(x)≥ x2+x在[﹣1,+∞)上恒成立,求k值的集合.
【答案】
(1)解:f′(x)=ex(x+1),
令f′(x)>0,解得:x>﹣1,
令f′(x)<0,解得:x<﹣1,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增,
∴f(x)在极小值是f(﹣1)=﹣ ,无极大值
(2)解:x>0时,k≥ ,
令φ(x)= ,则φ′(x)= <0,
φ(x)在(0,+∞)递减,
故φ(x)≤φ(0)=1,即k≥1;
﹣1≤x<0时,k≤ ,
φ′(x)= <0,
故φ(x)在[﹣1,0]递减,φ(x)≥φ(0)=1,
故k≤1,
综上,k=1,
故k∈{1}
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值即可;(2)分离参数,令φ(x)= ,根据函数的单调性求出k的值即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知函数 ,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1 , x2 , (x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2 .
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,过点的直线与椭圆交于两点.
(1)若直线的斜率为1, 且,求椭圆的标准方程;
(2)若(1)中椭圆的右顶点为,直线的倾斜角为,问为何值时,取得最大值,并求出这个最大值.
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【题目】数列{an}中,a1=1,an﹣an+1=anan+1 , n∈N* .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)Sn为{an}的前n项和,bn=S2n﹣Sn , 求bn的最小值.
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【题目】下列四个命题中真命题是
A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行
B. 底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱
C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条
D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个
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【题目】已知曲线与圆相交于四个点,,在轴右侧,为坐标原点。
(1)当曲线与圆恰有两个公共点时,求;
(2)当面积最大时,求;
(3)证明:直线与直线相交于定点,求求出点的坐标。
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