Question

设a∈R，f（x）=x²+a|x-a|+2
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）记f（x）的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）为偶函数，有f（-x）=f（x），求a即可；
（2）分情况把f（a）的最小值表示出来．

解答： 解：（1）f（x）为偶函数
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即x²+a|x+a|+2=x²+a|x-a|+2∴a=0…．（3分）
（2）当x≥a时，f（x）=x²+ax+2-a²，对称轴为x=-

a

2

若a≤-

a

2

即a≤0时，f(x)min=f(-

a

2

)=

a2

4

-

a2

2

+2-a2=2-

5

4

a2
若a＞-

a

2

即a＞0时，f(x)min=f(a)=a2+2…（6分）
当x＜a时，f（x）=x²-ax+a²+2，对称轴为x=

a

2

若a≤

a

2

即a≤0时，f（x）＞f（a）=a²+2
若a＞

a

2

即a＞0时，f(x)min=f(

a

2

)=

3

4

a2+2…..（9分）
a≤0时，(a2+2)-(2-

5

4

a2)=

9

4

a2≥0∴f(x)min=2-

5

4

a2，
a＞0时，(a2+2)-(

3

4

a2+2)=

a2

4

≥0
∴f(x)min=

3

4

a2+2…..（11分）
∴g(a)=

2- 5 4 a2，a≤0 3 4 a2+2，a＞0

…（13分）

点评：本题主要考查二次函数的单调性和最值得求法，属于中档题．