Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c，且方程f（x）+4=0有唯一解x=1，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[a，a+4]上存在零点，请写出实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）方程f（x）+4=0有唯一解x=1，即方程x²+bx+c+4=0有唯一解x=1，进而由韦达定理可得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）可得函数f（x）有两个零点-1和3，若函数f（x）在区间[a，a+4]上存在零点，则-1∈[a，a+4]，或3∈[a，a+4]，解得答案．

解答： 解：（1）∵方程f（x）+4=0有唯一解x=1，
即方程x²+bx+c+4=0有唯一解x=1，
故b=-（1+1）=-2，c+4=1×1=1，
即b=-2，c=-3，
∴f（x）=x²-2x-3…（6分）
（2）由f（x）=x²-2x-3=0得：
x=3，或x=-1，
∴函数f（x）有两个零点-1和3，
若函数f（x）在区间[a，a+4]上存在零点，
则-1∈[a，a+4]，或3∈[a，a+4]，
解得：a∈[-5，3]，
即a的取值范围是[-5，3]…（12分）

点评：本题考查的知识点是方程根与函数零点的关系，零点的位置，难度不大，属于基础题．