(1)过AF、AB作平面β交PC于点G,连FG、EG,
∵四边形ABCD是矩形,点E在边AB上,∴EA∥CD,
∴EA∥平面PCD, ∴EA∥FG∥CD,
∵AF∥平面PCE,∴AF∥EG, 则四边形AEGF是平行四边形
又∵F为PD的中点,∴EA=FG=
CD,
则点E是边AB的中点.
(2)延长CE、DA交于点H,作AM⊥HC,垂足为点M;连接AM、PM,作AN ⊥PM,垂足为点N.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥HC,则HC⊥平面PAM,
∴HC⊥AN,则AN ⊥平面PEC;又∵AF∥平面PCE,∴线段AN的长是直线AF到平面PCE的距离. ∵二面角P-CD-B为45
0,可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角,
∴∠PAD=45
0. 在Rt△PAD中,∵AD=2,∴PA="2."
又在Rt△HCD中,∵EA =
CD,CD=3,∴AH= AD=2.
∵AM⊥HC,∴Rt△HCD∽Rt△HAM,可求得AM=
.
在Rt△PAM中,∵S
△PAM=
PA•AM=
AN•PM,∴AN=
.
解法二:以点A为原点,分别以AB、AD、AP所在直线为X、Y、Z轴,建立空间直角坐标系(如图所示),由已知可得A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,2,0),C(3,2,0),
∵二面角P-CD-B为45
0,可证得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角,∴∠PAD=45
0.
在Rt△PAD中, AD=2,∴PA=2,则P(0,0,2)
又∵F为PD的中点,∴F(0,1,1)
则
=(0,1,1),
=(3,2,-2)
∵点E在边AB上,∴设E(λ,0,0),
则
=(3-λ,2,0)
设平面PEC的法向量
=(x,y,z),由
•
=0得(3-λ)x+2y=0,
由
•
=0得3x+2y-2z=0,解得y=
,z=
;
令x=2,得
=(2,λ-3,λ)
(1)∵AF∥平面PCE,∴
•
=0,即λ-3+λ=0,∴λ=
则点E是边AB的中点.
(2)∵AF∥平面PCE,∴直线AF到平面PCE的距离等于点A到平面PCE的距离d,则d=
=
=