Question

13．求函数y=x⁴•（2-x²） （0＜x＜$\sqrt{2}$）的最大值．

Answer 1

分析 令x²=t（0＜t＜2），则y=t²（2-t），求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到最大值．

解答 解：令x²=t（0＜t＜2），
则y=t²（2-t），
y′=2t（2-t）-t²=4t-3t²，
当0＜t＜$\frac{4}{3}$时，y′＞0，函数递增；
当$\frac{4}{3}$＜t＜2时，y′＜0，函数递减．
则t=$\frac{4}{3}$即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，函数取得极大值，也为最大值，且为$\frac{16}{9}$×（2-$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查运用导数求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．