Question

18．求函数y=2sinxcos（$\frac{3}{2}$π+x）+$\sqrt{3}$cosxsin（π+x）+sin（$\frac{π}{2}$+x）cosx的周期和值域，并写出使函数y取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析 根据三角函数诱导公式，结合三角恒等变换公式化简，得f（x）=$\frac{3}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根据三角函数的周期公式，即可求出函数f（x）的最小正周期T；由所求的表达式，得当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1时，函数f（x）有最大值．根据正弦函数的图象与性质，解方程2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），即可得到函数f（x）的最大值和相应的x的集合．

解答 解：∵cos（$\frac{3}{2}$π+x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，sin（$\frac{π}{2}$+x）=cosx，
∴f（x）=2sin²x-$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x，
=sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1，
=$\frac{3}{2}$-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{3}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∵sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
根据f（x）=$\frac{3}{2}$-sin（2x+$\frac{π}{6}$），得
当sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-1时，函数f（x）有最大值为$\frac{5}{2}$，
令2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，（k∈Z），得x=-$\frac{π}{3}$+kπ，（k∈Z），
∴函数f（x）的最大值为$\frac{5}{2}$，相应的x的集合为{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ（k∈Z）}．

点评 本题给出三角函数式的化简，求函数的周期与最值．着重考查了三角函数的周期公式、最值及其相应的x取值集合等知识，属于中档题．