Question

（2013•和平区一模）已知函数f（x）=x-

2

x

-3lnx+1
（I）求函数f（x）的单调区间：
（II）求f（x）在区间[1，e²]上的值域；
（III）若函数g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x在[l，4]上取得最大值3，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出原函数的导函数，求出导函数的零点，由零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e²）内，当x=2时，f（x）取得极小值，求出f（1）和f（e²）的值，则f（x）在区间[1，e²]上的值域可求；
（Ⅲ）把函数f（x）解析式代入g（x）=7f（x）+m-

16

x

-4x，整理后利用导函数求出g（x）在[l，4]上取得最大值，由最大值等于3可求实数m的值．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

x2-3x+2

x2

=

(x-1)(x-2)

x2

．
∴当x∈（0，1）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数．
当x∈（1，2）时，f^′（x）＜0，f（x）为减函数．
当x∈（2，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）的增区间为（0，1）（2，+∞），
减区间为（1，2）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在区间（1，e²）内，当x=2时，f（x）取得极小值，
而f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f(e2)=e2-

2

e2

-5．
∵f（2）＜f（1）＜f（e²），
∴f（x）在区间（1，e²）上的值域为[2-3ln2，e2-

2

e2

-5]；
（Ⅲ）由f(x)=x-

2

x

-3lnx+1及g(x)=7f(x)+m-

16

x

-4x，
得g(x)=3(x-

10

x

-7lnx)+7+m．
∴g′(x)=3(1+

10

x2

-

7

x

)=

3

x2

(x2-7x+10)=

3

x2

(x-2)(x-5)，x∈[1，4]
当x∈[1，2）时，g^′（x）＞0，g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，4]时，g^′（x）＜0，g（x）在（2，4]上单调递减．
则g（x）在[1，4]上有最大值g（x）_max=g（2）=m-2ln2-2=3．
∴实数m的值为5+2ln2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数值域的求法，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解答的关键是正确求出基本初等函数的导函数，属中高档题．