Question

4．设$\overrightarrow{a}$=（2，-1，-2），$\overrightarrow{b}$=（1，1，z），问z为何值时？＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞最小，并求最小值．

Answer 1

分析 利用向量夹角公式可得$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1-2z}{3\sqrt{2+{z}^{2}}}$，只考虑1-2z＞0，解得z$＜\frac{1}{2}$．令f（z）=$\frac{（1-2z）^{2}}{9（2+{z}^{2}）}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|$=3，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{2+{z}^{2}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1-2z．
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1-2z}{3\sqrt{2+{z}^{2}}}$，
只考虑1-2z＞0，解得z$＜\frac{1}{2}$．
令f（z）=$\frac{（1-2z）^{2}}{9（2+{z}^{2}）}$，
f′（z）=$\frac{2（2z-1）（z+4）}{9（2+{z}^{2}）^{2}}$，可得z=-4，f（z）取得最大值，
f（-4）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞最小值为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．