Question

6．已知直线x=$\frac{5π}{18}$是函数f（x）=sin（3x+φ）（-π＜φ＜0）图象的一条对称轴．
（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）+f（$\frac{π}{6}$-x），x∈（0，$\frac{π}{3}$）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．
（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=f（x）+f（$\frac{π}{6}$-x），x∈（0，$\frac{π}{3}$）的值域．

解答 解：（1）∵直线x=$\frac{5π}{18}$是函数f（x）=sin（3x+φ）（-π＜φ＜0）图象的一条对称轴，
∴3•$\frac{5π}{18}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（3x-$\frac{π}{3}$）．
（2）函数y=f（x）+f（$\frac{π}{6}$-x）=sin（3x-$\frac{π}{3}$）+sin[3（$\frac{π}{6}$-x）-$\frac{π}{3}$]=sin（3x-$\frac{π}{3}$）+cos（3x+$\frac{π}{3}$）
=$\frac{1}{2}$sin3x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos3x+$\frac{1}{2}$cos3x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin3x=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$sin3x+$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$cos3x=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$），∴3x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），∴sin（3x+$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴y∈[$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．