Question

17．直线y=x+1被曲线$y=\frac{1}{2}{x^2}-1$截得的线段AB的长为$2\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 直线y=x+1和曲线$y=\frac{1}{2}{x^2}-1$联立方程组，求出它们的交点坐标，再用两点间距离公式计算得答案．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
整理得x²-2x-4=0，
解得x=$1+\sqrt{5}$或x=$1-\sqrt{5}$．
∴直线y=x+1被曲线$y=\frac{1}{2}{x^2}-1$截得的交点坐标是A（$1+\sqrt{5}$，$2+\sqrt{5}$ ），B（$1-\sqrt{5}$，$2-\sqrt{5}$），
∴直线y=x+1被曲线$y=\frac{1}{2}{x^2}-1$截得的线段的长|AB|=$\sqrt{（1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}）^{2}+（2+\sqrt{5}-2+\sqrt{5}）^{2}}$=$2\sqrt{10}$．
故答案为：$2\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与曲线截得的线段长的求法，考查两点间距离公式的运用，是基础题．