Question

9．设函数f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为π，将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）的对称中心的坐标及f（x）的递增区间；
（2）求函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得f（x）的对称中心的坐标及f（x）的递增区间．
（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
将函数f（x）的图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数g（x）=4sin（x+$\frac{π}{3}$） 的图象，
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，可得x=$\frac{1}{2}$•kπ-$\frac{π}{6}$，故函数f（x）的对称中心的坐标为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上，x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，4sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[2，4]，
故函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域为[2，4]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．