Question

1．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，AA₁=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3
（1）证明：BE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求三棱锥B₁-EA₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）过B作CD的垂线交CD于F，推导出BE⊥BC，BE⊥BB₁，由此能证明BE⊥平面BB₁C₁C．
（2）三棱锥B₁-EA₁C₁的体积：${V}_{{B}_{1}-E{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）过B作CD的垂线交CD于F，
则$BF=AD=\sqrt{2}，EF=AB-DE=1，FC=2$
在$Rt△BFE中，BE=\sqrt{3}，Rt△BFC中，BC=\sqrt{6}$．
在△BCE中，∵BE²+BC²=9=EC²，
∴BE⊥BC，∵BB₁⊥平面ABCD，∴BE⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，∴BE⊥平面BB₁C₁C，
（2）∵点E到平面A₁₁C₁的距离为AA₁=3，
∴三棱锥B₁-EA₁C₁的体积：
${V}_{{B}_{1}-E{A}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×A{A}_{1}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$
=$\frac{1}{3}×3×[\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{2}-\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}]$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．