Question

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，．

（1）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；

（2）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1

∴a_n+1+1=2（a_n+1），

∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）

∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．

∴，

∴．…（4分）

（Ⅱ）∵，…（6分）

∴

=．…（8分）

∵，

又T_n＞0，

∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．

∴当n=1时，T_n取得最小值．…（10分）

要使得对任意n∈N^*都成立，

结合（Ⅰ）的结果，只需，

由此得m＞4．

∴正整数m的最小值是5．…（12分）